大学物理力学篇（第1-5章）

质点运动学

基本概念

• 位移与路程
  • 位移：矢量，Δr = r₂ - r₁
  • 路程：标量，路径总长
• 速度与速率
  • 平均速度：v̄ = Δr/Δt
  • 瞬时速度：v = dr/dt
  • 速率：|v|
• 加速度
  • 平均加速度：ā = Δv/Δt
  • 瞬时加速度：a = dv/dt = d²r/dt²

运动描述方法

• 直角坐标系
  • x(t), y(t), z(t)
  • vₓ = dx/dt, aₓ = d²x/dt²（同理y、z方向）
• 自然坐标系（切向-法向）
  • 切向加速度：aₜ = dv/dt
  • 法向加速度：aₙ = v²/ρ（ρ为曲率半径）
• 极坐标系（平面）
  • 径向与横向分量：vᵣ = dr/dt, v_θ = r dθ/dt

典型运动模型

• 匀速直线运动
  • x = x₀ + vt
• 匀变速直线运动
  • v = v₀ + at；x = x₀ + v₀t + ½at²；v² - v₀² = 2a(x - x₀)
• 抛体运动
  • 水平匀速：x = v₀ₓ t
  • 竖直匀变速：y = v₀ᵧ t - ½gt²
  • 轨迹方程：y = x tanθ - (g x²)/(2v₀² cos²θ)

牛顿运动定律

三大定律

• 第一定律（惯性定律）
  • 物体保持静止或匀速直线运动，除非受合外力作用
• 第二定律（F = ma）
  • 矢量式：F = dp/dt = m a（质量恒定）
  • 分量形式：Fₓ = m aₓ，Fᵧ = m aᵧ
• 第三定律（作用与反作用）
  • F₁₂ = -F₂₁，作用在不同物体上

常见力类型

• 重力
  • G = mg（方向竖直向下）
• 弹力
  • 胡克定律：F = -kx（弹簧）
• 摩擦力
  • 静摩擦：fₛ ≤ μₛN
  • 动摩擦：fₖ = μₖN
• 张力与支持力
  • 绳张力沿绳方向；支持力垂直接触面

典型动力学模型

• 斜面滑块
  • 合力：mgsinθ - f = ma
  • 支持力：N = mgcosθ
• 连接体问题
  • 整体法与隔离法结合
  • 加速度相同，内力分析需隔离
• 圆周运动中的牛顿第二定律
  • 向心力：Fₙ = m v²/r = m ω² r

动量与角动量

动量定理与守恒

• 动量定义
  • p = mv
• 动量定理
  • ∫F dt = Δp（冲量等于动量变化）
• 动量守恒条件
  • 系统合外力为零 ⇒ 总动量守恒

碰撞模型

• 弹性碰撞
  • 动量守恒 + 动能守恒
  • 一维公式：v₁' = [(m₁ - m₂)v₁ + 2m₂v₂]/(m₁ + m₂)
• 完全非弹性碰撞
  • 碰后共速：v' = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
  • 动能损失最大
• 非弹性碰撞
  • 动量守恒，动能不守恒

角动量

• 质点角动量
  • L = r × p（相对于某参考点）
• 角动量定理
  • τ = dL/dt（τ为合外力矩）
• 角动量守恒
  • 合外力矩为零 ⇒ L 守恒
  • 应用于行星运动、旋转系统等

功和能

功与功率

• 功的定义
  • W = ∫F·dr（恒力：W = F·s·cosθ）
• 功率
  • P = dW/dt = F·v

动能与势能

• 动能
  • K = ½mv²
• 势能类型
  • 重力势能：U_g = mgh（近地）
  • 弹性势能：U_e = ½kx²
  • 万有引力势能：U = -G Mm/r（一般形式）

功能原理与机械能守恒

• 动能定理
  • W_total = ΔK（所有力做功之和）
• 保守力与势能关系
  • F = -∇U（一维：F = -dU/dx）
• 机械能守恒条件
  • 只有保守力做功 ⇒ E = K + U = 常量

典型能量模型

• 弹簧振子（水平）
  • E = ½kA² = ½mv² + ½kx²
• 自由落体/斜抛
  • mgh + ½mv² = 常量
• 势能曲线分析
  • 平衡点：dU/dx = 0；稳定平衡：U取极小值

刚体力学

刚体基本概念

• 平动与转动
  • 平动：各点运动状态相同
  • 转动：绕固定轴，角位移θ、角速度ω、角加速度α
• 转动参量关系
  • v = ω × r；aₜ = α × r；aₙ = ω² r

转动定律

• 力矩
  • τ = r × F；大小 τ = rF sinθ
• 转动惯量
  • I = Σmᵢrᵢ²（离散）；I = ∫r² dm（连续）
  • 常见刚体：细杆(I = 1/12 ML²)、圆盘(I = 1/2 MR²)、球壳(I = 2/3 MR²)
• 转动定律
  • τ_net = I α（类比 F = ma）

角动量与动能（刚体）

• 角动量
  • L = I ω（定轴转动）
• 转动动能
  • K_rot = ½ I ω²
• 机械能守恒（含转动）
  • E = ½mv_cm² + ½Iω² + U = 常量

典型刚体模型

• 定轴转动问题
  • 如滑轮系统：考虑转动惯量影响张力
• 纯滚动（无滑滚动）
  • 条件：v_cm = Rω；a_cm = Rα
  • 动能：K = ½mv² + ½Iω² = ½mv²(1 + I/(mR²))
• 角动量守恒应用
  • 花样滑冰收臂转速增加：I₁ω₁ = I₂ω₂