考研高数前5章核心知识体系
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微分学核心体系（第1-3章）
第1章 函数·极限·连续
- 极限基础
- 核心定义
- 数列极限
- ε-N定义
- 极限唯一性
- ε-N定义
- 函数极限
- ε-δ定义
- 左右极限
- ε-δ定义
- 数列极限
- 核心定义
- 极限计算
- 两个重要极限
- lim(sin x/x)=1
- lim(1+1/x)^x=e
- 无穷小量
- 阶的比较（高阶/同阶/k阶）
- 常用等价无穷小（x→0）
- sin x~x, ln(1+x)~x, e^x-1~x
- 极限存在准则
- 夹逼准则
- 单调有界准则
- 洛必达法则
- 0/0或∞/∞型
- 衔接导数应用
- 0/0或∞/∞型
- 两个重要极限
- 连续与间断
- 连续定义
- 极限值=函数值
- 左右连续→区间连续
- 间断点分类
- 第一类：可去/跳跃
- 第二类：无穷/振荡
- 闭区间连续性质
- 最值定理
- 介值定理
- 零点存在定理
- 连续定义
第2章 导数与微分
- 导数概念
- 定义
- 增量比极限
- 左右导数相等⇔可导
- 几何意义
- 切线斜率k=f'(x₀)
- 切线方程y-y₀=k(x-x₀)
- 核心关系
- 可导⇒连续；连续⇏可导
- 定义
- 导数计算
- 16个基本公式
- 幂指对三反
- 通用法则
- 四则运算
- 链式法则
- 特殊求导
- 隐函数求导
- 参数方程求导
- 对数求导法
- 高阶导数
- 莱布尼茨公式
- 16个基本公式
- 微分
- 定义
- dy=f'(x)dx
- 线性主部Δy≈dy
- 几何意义
- 切线纵坐标增量
- 性质
- 一阶微分形式不变性
- 定义
第3章 微分中值定理及导数应用
- 微分中值定理
- 费马引理
- 极值点导数为0
- 核心三定理
- 罗尔定理
- 拉格朗日中值定理
- 柯西中值定理
- 逻辑链
- 罗尔→拉格朗日→柯西
- 费马引理
- 泰勒公式
- 两种余项
- 佩亚诺余项o(xⁿ)
- 拉格朗日余项f⁽ⁿ⁺¹⁾(ξ)(x-a)ⁿ⁺¹/(n+1)!
- 常用麦克劳林展开
- e^x, sin x, cos x, ln(1+x)
- 考研应用
- 极限计算
- 高阶导数
- 不等式证明
- 两种余项
- 导数应用
- 函数形态
- 单调性：f'符号
- 极值：f'=0+f'变号
- 最值：端点+驻点
- 曲线形态
- 凹凸性：f''符号
- 拐点：f''=0+f''变号
- 渐近线：水平/垂直/斜
- 高频题型
- 不等式证明
- 方程根个数
- 洛必达法则
- 函数形态
积分学核心体系（第4-5章）
第4章 不定积分
- 不定积分基础
- 核心概念
- 原函数F'(x)=f(x)
- ∫f(x)dx=F(x)+C
- 基本性质
- 与导数互逆
- 线性运算
- 基本积分公式
- 16个“逆导数”表
- 核心概念
- 计算方法
- 第一类换元
- 凑微分法
- 第二类换元
- 三角代换
- 根式代换
- 倒代换
- 分部积分
- ∫u dv=uv-∫v du
- 特殊类型
- 有理函数→部分分式
- 三角有理式→万能代换t=tan(x/2)
- 简单无理函数
- 第一类换元
第5章 定积分
- 定积分基础
- 定义
- 黎曼和极限
- 核心性质
- 线性性
- 区间可加性
- 保号性
- 积分中值定理
- 可积条件
- 必要：有界
- 充分：连续或单调
- 定义
- 定积分计算
- 牛顿-莱布尼茨公式
- ∫ₐᵇf(x)dx=F(b)-F(a)
- 定积分换元
- 换元必换限
- 定积分分部积分
- 带限版本
- 常用结论
- 奇偶函数积分
- 周期函数积分
- 华莱士（点火）公式
- 牛顿-莱布尼茨公式
- 反常积分
- 无穷限
- ∫ₐ^∞f(x)dx
- 比较判敛
- 无界函数（瑕积分）
- 瑕点处理
- p-积分判敛
- 无穷限
- 定积分应用
- 几何应用
- 面积A=∫ₐᵇ|f(x)|dx
- 旋转体体积V=π∫ₐᵇf²(x)dx
- 弧长L=∫√(1+f'²)dx
- 旋转曲面面积S=2π∫y√(1+y'²)dx
- 物理应用
- 变力做功W=∫F(x)dx
- 液体静压力
- 引力
- 质心/形心坐标
- 几何应用