函数的概念及其表示
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函数的概念
核心定义
- 非空数集A→非空数集B
- 任意x∈A
- 唯一y∈B与之对应
- 记作 y = f(x)
- 读作“y 等于 f 作用于 x”
- 记作 y = f(x)
- 唯一y∈B与之对应
- 任意x∈A
构成要素
- 定义域
- 自变量x的取值范围
- 决定函数“入口”
- 自变量x的取值范围
- 值域
- 因变量y的取值范围
- 决定函数“出口”
- 因变量y的取值范围
- 对应法则
- 映射规则f
- 决定“如何变”
- 映射规则f
本质特征
- 唯一性
- 一个x只能对应一个y
- 确定性
- 相同x必得相同y
能力要求
- 抽象定义
- 用集合语言描述
- 判断对应
- 用“垂直线检验”
- 区分同一函数
- 定义域+对应法则相同即可
函数的表示方法
解析法
- 表达式表示
- 如 y = 2x + 1
- 严谨、可运算
- 如 y = 2x + 1
列表法
- 表格呈现
- x与y一一对应
- 简洁、易查值
- x与y一一对应
图像法
- 平面直角坐标系
- 点集{(x, f(x))}
- 直观、看趋势
- 点集{(x, f(x))}
特殊表示
- 分段函数
- 不同区间不同式
- 如计费标准、阶梯电价
- 不同区间不同式
能力要求
- 三种方法互转
- 解析→列表→图像
- 绘制图像
- 描点、连线、标关键
- 解读分段
- 找“断点”、看区间
函数的定义域与值域
定义域求解
- 分式型
- 分母≠0
- 根式型
- 偶次根号内≥0
- 零次幂型
- 底数≠0
- 综合型
- 取各限制交集
值域求解
- 一次函数
- 两端代入看区间
- 二次函数雏形
- 顶点+开口方向
能力要求
- 精准求定义域
- 列不等式→解→写区间
- 初步求值域
- 观表达式→画图→定范围
函数概念的应用
实际建模
- 计费问题
- 出租车分段计价
- 最值问题
- 最大利润、最小成本
- 预测问题
- 根据趋势外推
知识衔接
- 后续性质
- 单调性、奇偶性、周期性
- 高等数学
- 极限、连续、导数
能力要求
- 转化模型
- 文字→变量→函数式
- 解决问题
- 求值、求最值、作决策